Повышение нелинейности булевых функций адаптивной модификацией вейвлет-спектра

Актуальность. Булевы функции являются основой современных криптографических систем и алгоритмов шифрования, хеширования и генерации псевдослучайных последовательностей. Их ключевые свойства ‒ высокая нелинейность и сбалансированность. Однако традиционные методы построения булевых функций с высокой нелинейностью основаны на применении бент-функций, которые обладают идеальными спектральными свойствами, но ограничены областью существования (только для четного числа переменных) и требуют сложных алгебраических конструкций. Это создает противоречие между теоретической оптимальностью бент-структур и их низкой практической реализуемостью. Таким образом, актуальной научной задачей является разработка методов формирования булевых функций, приближенных по спектральным характеристикам к бент-функциям, но пригодных для практического применения.

Цель исследования заключается в повышении нелинейности булевых функций за счет разработки метода адаптивной модификации детализирующих коэффициентов вейвлет-разложения, позволяющего перераспределять спектральную энергию и усиливать высокочастотные компоненты без усложнения алгебраической структуры функций.

Для достижения цели использованы методы спектрального анализа, дискретного вейвлет-преобразования Хаара, алгоритмизация и экспериментальное моделирование. Вейвлет-анализ применяется не только для декомпозиции функции, но и как инструмент управляемого спектрального преобразования.

Решение. Предложен метод адаптивной коррекции детализирующих коэффициентов вейвлет-разложения, обеспечивающий перераспределение спектральной плотности в сторону высокочастотных компонент. Проведены эксперименты для булевых функций размерностей n = 8, 10 и 12, подтверждающие увеличение спектральной нелинейности на 12–18 % по сравнению с исходными функциями.

Новизна. Впервые предложено применение дискретного вейвлет-преобразования для целенаправленного повышения спектральной нелинейности булевых функций. Ранее оно использовалось преимущественно для анализа сигналов. Введена формула адаптивной модификации детализирующих коэффициентов, позволяющая управлять спектральной структурой функций без привлечения сложных алгебраических преобразований.

Теоретическая значимость работы состоит в обосновании нового подхода к формированию булевых функций на основе спектрального моделирования вейвлет-коэффициентов.

Практическая значимость результатов заключается в том, что предложенный подход открывает возможность для дальнейшей автоматизации процессов синтеза булевых функций и S-блоков с заданными спектральными характеристиками. Это может быть использовано при разработке новых стандартов шифрования и оценке стойкости алгоритмов к перспективным видам криптоанализа.

1. Carlet C. Boolean Functions for Cryptography and Error Correcting Codes. Cambridge University Press, 2007.

2. Токарева Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ // Прикладная дискретная математика. 2009. №1(3). С. 15–37. EDN:KGCEZH

3. Langevin P., Gillot V., Polujan A. Normality of 8-Bit Function // arXiv: 2504.21779. 2025. DOI:10.48550/arXiv.2504.21779

4. Carlet C., Đurasevic M., Jakobovic D., Picek S., Mariot L. A Systematic Study on the Design of Odd-Sized Highly Nonlinear Boolean Functions via Evolutionary Algorithms // arXiv: 2504.17666. 2025. DOI:10.48550/arXiv.2504.17666

5. Шибакин И.В., Левина А.Б. Алгоритм генерации бент-функций с помощью вейвлет-преобразования // Безопасность информационных технологий. 2025. Т. 32. № 4. С. 106–121. DOI:10.26583/bit.2025.4.08. EDN:EGISZJ

6. Carlet C., Đurasevic M., Jakobovic D., Mariot L., Picek S., Polujan A. On Counts and Densities of Homogeneous Bent Functions: An Evolutionary Approach // arXiv: 2511.12652. 2025. DOI:10.48550/arXiv.2511.12652

7. Pandey S.K., Dass B.K. On Walsh Spectrum of Cryptographic Boolean Function // Defence Science Journal. 2017. Vol. 67. Iss. 5. PP. 536–541. DOI:10.14429/dsj.67.10638

8. Штарк Г.Г. Применение вейвлетов для ЦОС. Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 183 с.

9. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. Academic Press, 2008. 832 p.

10. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 464 с.

11. Демьянович Ю.К., Ходаковский В.А. Введение в теорию вейвлетов: курс лекций. СПб., 2007. 49 с.

12. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. М.: ДМК Пресс, 2008. 448 с. EDN:RAZCLT

13. Jiang N., Zhuo Z., Chen G., Wang L. The Walsh transform of a class of Boolean functions // Wuhan University Journal of Natural Sciences. 2021. Vol. 26. Iss. 6. РР. 453–458. DOI:10.1051/wujns/2021266453. EDN:EJIKQK