Связь симметрии и антисимметрии квазиортогональных циклических матриц с простыми числами

Аннотация

Рассматриваются квазиортогональные матрицы Адамара и матрицы Мерсенна с двумя и тремя значениями элементов, используемые в обработке цифровых данных, а также в качестве основы помехоустойчивых кодов и алгоритмов ортогональных преобразований изображений. Внимание уделяется структурам циклических матриц с симметриями и антисимметриями. Показывается связь симметрии и антисимметрии структур циклических матриц Адамара и Мерсенна на порядках, равных простым числам, произведению близких простых чисел, составным числам, степеням простого числа. Отдельно выделены порядки, равные степени простого числа 2, как порядки матриц Адамара, так и основа составных порядков матриц Мерсенна блочных структур с двумя значениями элементов. Показывается, что симметричные матрицы Адамара циклических и двуциклических структур, согласно расширенной границе Райзера, не существуют на порядках выше 32. Матрицы Мерсенна составных порядков, относящихся к последовательности чисел Мерсенна 2k – 1, вложенных в последовательность порядков основного семейства матриц Мерсенна 4t – 1, существуют в симметричном и антисимметричном виде. Для порядков, равных степеням простого числа, матрицы Мерсенна существуют в виде блочно-диагональных конструкций с тремя значениями элементов. Значение степени простого числа определяет количество блоков вдоль диагонали матрицы, на которой расположены элементы с третьим значением. При этом блоки являются циклическими симметричными и антисимметричными.