Александр Михайлович Сергеев, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительных систем и сетей
Санкт-Петербург, 190000
Aleksandr Sergeev
St. Petersburg, 190000
Рассматриваются квазиортогональные матрицы Адамара и матрицы Мерсенна с двумя и тремя значениями элементов, используемые в обработке цифровых данных, а также в качестве основы помехоустойчивых кодов и алгоритмов ортогональных преобразований изображений. Внимание уделяется структурам циклических матриц с симметриями и антисимметриями. Показывается связь симметрии и антисимметрии структур циклических матриц Адамара и Мерсенна на порядках, равных простым числам, произведению близких простых чисел, составным числам, степеням простого числа. Отдельно выделены порядки, равные степени простого числа 2, как порядки матриц Адамара, так и основа составных порядков матриц Мерсенна блочных структур с двумя значениями элементов. Показывается, что симметричные матрицы Адамара циклических и двуциклических структур, согласно расширенной границе Райзера, не существуют на порядках выше 32. Матрицы Мерсенна составных порядков, относящихся к последовательности чисел Мерсенна 2k – 1, вложенных в последовательность порядков основного семейства матриц Мерсенна 4t – 1, существуют в симметричном и антисимметричном виде. Для порядков, равных степеням простого числа, матрицы Мерсенна существуют в виде блочно-диагональных конструкций с тремя значениями элементов. Значение степени простого числа определяет количество блоков вдоль диагонали матрицы, на которой расположены элементы с третьим значением. При этом блоки являются циклическими симметричными и антисимметричными.
Quasi-orthogonal Hadamard matrices and Mersenne matrices with two and three values of the elements, used in digital data processing, are considered, as well as the basis of error-correcting codes and algorithms for transforming orthogonal images. Attention is paid to the structures of cyclic matrices with symmetries and antisymmetries. The connection between symmetry and antisymmetry of structures of cyclic Hadamard and Mersenne matrices on a orders equal to prime numbers, products of close primes, composite numbers, powers of a prime number is shown. Separately, orders equal to the degrees of the prime number 2 are distinguished, both the orders of Hadamard matrices and the basis of the composite orders of Mersenne matrices of block structures with two element values. It is shown that symmetric Hadamard matrices of cyclic and bicyclic structures, according to the extended Riser boundary, do not exist on orders above 32. Mersenne matrices of composite orders belonging to the sequence of Mersenne numbers 2k ‒ 1 nested in the sequence of orders of the main family of Mersenne matrices 4t ‒ 1 exist in a symmetric and antisymmetric form. For orders equal to the powers of a prime number, Mersenne matrices exist in the form of block-diagonal constructions with three element values. The value of prime power determines the number of blocks along the diagonal of the matrix on which the elements with the third value are located. The cyclic blocks are symmetrical and antisymmetric.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.